为什么时空是弯曲的——你也能懂的广义相对论基本原理

　　广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论，它将引力视为时空的弯曲，而不是牛顿力学中的一种力。广义相对论不仅能够解释经典力学无法解释的现象，如水星的近日点进动、光的弯曲、引力红移等，还能够预言一些奇妙的物理现象，如黑洞、引力波、宇宙膨胀等。广义相对论是现代物理学的基石之一，它与量子力学一起构成了我们对自然界的最深刻的理解。

　　广义相对论的内在逻辑是：时空是弯曲的，物体按照时空的类时测地线运动；时空按Einstein场方程进行弯曲，不同时空解对应不同弯曲时空。为了理解这一逻辑，我们需要引入一些数学工具，如流形、一般坐标变换和广义协变性。这些工具可以帮助我们抽象地描述时空的性质，而不依赖于具体的坐标系或参考系。我们还需要回顾一下狭义相对论的内容，因为它是广义相对论的特殊情况，即平坦时空的情况。最后，我们需要理解等效原理的含义，因为它是广义相对论的基础，它告诉我们有引力的时空即弯曲时空。

　　在广义相对论中，时空不再是牛顿力学中的绝对的、静止的、欧几里得的背景，而是一个动态的、可变的、非欧几里得的实体。时空的几何性质由度规张量来描述，度规张量是一个二阶对称张量，它可以定义时空中的距离蜗杆螺旋线、角度、体积等概念。度规张量还可以用来定义时空中的类时、类空和类光区域，以及时空中的因果结构。

　　时空的弯曲程度由曲率张量来描述，曲率张量是一个四阶对称张量，它可以定义时空中的平行移动、测地线偏离、潮汐力等概念。曲率张量还可以用来判断时空是否是平坦的，即是否存在一个全局的惯性系，使得时空在该惯性系中具有欧几里得的性质。如果时空是平坦的，那么曲率张量在任意点都为零；如果时空是弯曲的，那么曲率张量在某些点不为零。

　　在广义相对论中，物体的运动不再遵循牛顿第二定律，而是遵循测地线方程。测地线方程是一个二阶微分方程，它描述了物体在时空中如何沿着最短或最长的路径运动。这些路径称为测地线，它们是时空中的极值曲线。测地线的性质取决于时空的度规和曲率，以及物体的初始条件。如果物体的运动是类时的，即物体的速度小于光速气动工具，那么它沿着时空的类时测地线运动；如果物体的运动是类光的，即物体的速度等于光速，那么它沿着时空的类光测地线运动。

　　时空的弯曲对物体的运动有很大的影响，它可以产生一些奇特的现象，如引力透镜、引力红移等。引力透镜是指时空的弯曲使得光线发生偏折，从而导致远处的光源的形状、位置和亮度发生变化。引力透镜可以分为弱引力透镜和强引力透镜，前者只产生微小的偏折，后者可以产生多重像、环状像等效果。引力红移是指时空的弯曲使得光线的频率发生变化，从而导致光线的颜色发生变化。引力红移可以分为引力势能红移和引力时间延迟红移，前者是由于光源和观测者之间的引力势能差导致的，后者是由于光线在弯曲时空中传播的时间延迟导致的。

　　在广义相对论中，时空的弯曲不是任意的，而是由物质的分布和运动决定的。物质的分布和运动由能动张量来描述，能动张量是一个二阶对称张量，它可以定义物质的能量、动量、压强、应力等概念。能动张量还可以用来定义物质的守恒律，即能量-动量守恒律和角动量守恒律。

　　时空的弯曲和物质的分布和运动之间的关系由Einstein场方程来描述，Einstein场方程是一个十个分量的非线性偏微分方程组，它是广义相对论的核心方程。

　　Einstein场方程的含义是：时空的弯曲程度等于物质的分布和运动乘以一个比例常数。这个方程表达了广义相对论的基本原理，即广义相对性原理，它要求任意参考系中的物理规律都具有相同的形式。Einstein场方程还表达了广义相对论的特征，即背景独立，它要求物理规律不依赖于任何特定的时空背景，而是由时空和物质的相互作用决定的。

　　Einstein场方程的求解是广义相对论的重要任务，它可以帮助我们找到不同物质分布和运动情况下的时空解，从而预测时空的弯曲程度和物理现象。然而，Einstein场方程是一个非常复杂的方程组，它很难得到精确的解，只有在一些特殊的情况下，我们才能找到一些简单的解，这些解称为精确解。精确解通常具有一定的对称性，例如球对称性、轴对称性、均匀性等，这些对称性可以简化方程的求解过程。精确解还具有一定的物理意义，例如描述真空、尘埃、辐射、流体等不同的物质模型，或者描述静态、定常、周期性、爆炸性等不同的动力学过程。

　　为了描述广义相对论中的时空，我们需要引入一种数学对象，叫做流形。流形是一种抽象的空间，它可以局部地近似为欧几里得空间，但是全局地可能不是欧几里得的。流形的维数是指它局部地可以用多少个坐标来描述，例如一维流形可以用一个坐标来描述，如直线、圆、螺旋线等；二维流形可以用两个坐标来描述，如平面、球面、马鞍面等；三维流形可以用三个坐标来描述，如立方体、圆柱体、圆锥体等。广义相对论中的时空是一个四维流形，它可以用四个坐标来描述，其中一个坐标是时间，另外三个坐标是空间。

　　流形上的每一点都可以用一个坐标系来描述，坐标系是一种给流形上的点标记数字的方法，它可以帮助我们定位和测量流形上的点和曲线。流形上可以存在多套坐标系，每套坐标系都可以用一个坐标图来表示，坐标图是一个将流形上的一个开集映射到欧几里得空间上的一个开集的函数，它可以定义流形上的局部坐标。不同的坐标系可以用不同的坐标图来表示，例如，平面上可以用笛卡尔坐标系、极坐标系、球坐标系等来表示，它们都是平面上的不同的坐标图。时空上也可以用不同的坐标系来表示，例如内活塞头，闵可夫斯基时空可以用惯性坐标系、加速坐标系、极坐标系等来表示，它们都是闵可夫斯基时空上的不同的坐标图。

　　不同的坐标系有各自的优缺点，有些坐标系可以更方便地描述流形的某些性质，有些坐标系可以更简单地求解方程，有些坐标系可以更直观地展示流形的形状。因此，我们需要根据不同的目的和情况，选择合适的坐标系来描述流形。同时，我们也需要注意，不同的坐标系之间是可以相互转换的，这种转换称为坐标变换，坐标变换是一种将一个坐标系中的坐标值映射到另一个坐标系中的坐标值的函数，它可以保持流形上的点和曲线的本质不变。坐标变换可以帮助我们在不同的坐标系之间进行比较和计算，以及检验物理规律的一致性和普适性。

　　在广义相对论中，坐标变换不再是狭义相对论中的平坦坐标变换，而是一种更一般的变换，称为一般坐标变换。一般坐标变换是一种将一个坐标系中的坐标值映射到另一个坐标系中的坐标值的任意可微函数，它可以描述任意形式的坐标变换，包括平移、旋转、缩放、扭曲等。一般坐标变换可以用雅可比矩阵来表示，雅可比矩阵是一个由坐标变换的偏导数组成的矩阵，它可以描述坐标变换的线性性质和非线性性质。

　　一般坐标变换的作用是将一个坐标系中的几何量转换为另一个坐标系中的几何量，几何量是一种描述流形上的几何性质的量，例如度规张量、联络、曲率张量等。几何量可以分为标量、向量、张量等不同的类型，它们在坐标变换下有不同的变换规则，这些变换规则称为协变规则，它们可以保证几何量的本质不变。标量是一种只有数值没有方向的量，它在坐标变换下不变，例如温度、密度、曲率标量等。向量是一种有数值和方向的量，它在坐标变换下按照雅可比矩阵的乘法变换，例如位移向量、速度向量、力向量等。张量是一种有多个数值和多个方向的量，它在坐标变换下按照雅可比矩阵的张量积变换绝对速度，例如度规张量、能动张量、曲率张量等。

　　几何量的协变规则可以用指标记号来表示，指标记号是一种用上下标来表示几何量的分量和坐标系的方法，它可以简化几何量的表示和计算。指标记号的基本规则是：上标表示逆变分量，下标表示协变分量，相同的指标表示求和，不同的指标表示不同的坐标系。

　　几何量的协变规则和协变导数可以保证几何量在一般坐标变换下保持协变，即保持不变或按照一定的规则变换，这种性质称为广义协变性，它是广义相对论的基本原理之一，它要求任意参考系中的物理规律都具有相同的形式。广义协变性可以用来约束物理方程的形式，例如，Einstein场方程就是一个广义协变的方程，它的左边和右边都是二阶对称张量，它们在一般坐标变换下按照张量的协变规则变换。广义协变性还可以用来判断物理量的类型，例如，如果一个物理量在一般坐标变换下不变，那么它是一个标量；如果一个物理量在一般坐标变换下按照雅可比矩阵的乘法变换，那么它是一个向量；如果一个物理量在一般坐标变换下按照雅可比矩阵的张量积变换，那么它是一个张量。

　　在广义相对论中，时空是一个弯曲的流形，它可以用一般坐标变换和广义协变性来描述。然而，在一些特殊的情况下，时空可以近似为一个平坦的流形，它可以用平坦坐标变换和Lorentz协变性来描述。这些特殊的情况就是狭义相对论的适用范围，狭义相对论是广义相对论的特殊情况，它是爱因斯坦于1905年提出的一种描述惯性系间物理现象的理论滤片，它将光速视为一个不变的常数，而不是一个相对的速度水泵汽油机。返回搜狐，查看更多